اُریگامی، تفنن مورد توجه ریاضیات

هنر کاغذ و تا، یا اُریگامی، چون یک هنر ابتدایی در ژاپن عهد باستان پدیدار شد. دوستداران امروزی اُریگامی، آن را به سطح هنری تخصصی رسانده‌اند که هیچ حدومرزی نمی‌شناسد. کاغذ، ابزار دست اهل علم است. دفترچه‌های آزمایش‌گاهی از کاغذ درست شده است. بر روی میز کار دانشمندان، صفحات کاغذی انباشته شده است. و بالاخره از خروجی کامپیوترها، دسته دسته کاغذ بیرون می‌ریزد. به سراغ هر آزمایش‌گاه یا مؤسسه‌ی علمی که بروید با انواع و اقسام کاربردهای کاغذ رو‌به‌رو می‌شوید. اما گاهی هم ممکن است ببینید که کاغذ را برای منظوری کاملاً غیرعلمی به‌کار برده‌اند: آن را با تا کردن، به شکل پرنده، ماهی، آدم، و چیزهای مختلف درآورده‌اند.

این شکل‌های کاغذی، نمونه‌هایی از هنر اُریگامی هستند. اریگامی واژه‌ای است ژاپنی به معنیِ کاغذ تا شده. (در زبان فارسی این هنر را «کاغذ و تا» نیز خوانده‌اند.) اعضای جامعه‌ی دانشمندان جزو طرف‌داران پروپاقرص این هنر باستانی شده‌اند، هنری که از صورت ابتدایی ژاپنی خود بسیار فراتر رفته است و در کشورهای غربی نیز رواج و اهمیت چشم‌گیری یافته است. تعداد قابل توجهی از دانشمندان، مهندسان، معماران، و امثال آن‌ها، شیفته‌ی چیزی شده‌اند که به طور عادی سرگرمی کودکان قلمداد می‌شود. آن‌ها به طرح‌های قدیمی اکتفا نکرده و طی سال‌های اخیر تغییرات عمده‌ای در مسیر این هنر پدید آورده‌اند. کاغذتاکن‌های متخصص امروزی با استفاده از اصول ریاضی و هندسی در طرح‌های اُریگامی، این هنر را به سطوح غیرقابل‌تصوری از پیچیدگی و واقعی‌نمایی رسانده‌اند. قوانین اُریگامی – استفاده از یک صفحه کاغذ، بدون هیچ عمل بُرش – ظاهراً بسیار محدود کننده است. ابتدا به نظر می‌رسد که با رعایت این قوانین، تنها شکل‌های خیلی ساده و انتزاعی را می‌توان ساخت. اما در طول صدها سال، دویست الی سی‌صد طرح مختلف به روش آزمون و خطا پدید آمده است. اغلب این طرح‌ها ساده‌اند و شیوه‌های محدودی در ساخت آن‌ها به کار گرفته شده است. پیچیدگی و واقعی‌نمایی در اُریگامی – مثلاً در ساختنِ حشراتی دارای پا و بال و شاخک – تنها با پیدایش روش‌های طراحی تخصصی در اواخر قرن بیستم میلادی امکان‌پذیر شد.
طراحی هر نمونه‌ی اُریگامی شامل دو مرحله است: تا کردن «مبنا»، و تا کردن «ریزه‌کاری‌ها». هر «مبنا» عبارت است از یک شکل هندسی که ساختمانی مشابه شیء مورد نظر دارد گرچه به ظاهر چندان شبیه به آن نیست. از طرف دیگر، تاهای ریزه‌کاری، تاهایی هستند که شکل ظاهری مبنا را به نمونه‌ی نهایی مورد نظر تبدیل می‌کنند. در طراحی مبنا، تمامی برگه‌ی کاغذ باید در نظر گرفته شود، زیرا همه‌ی بخش‌های مبنا به یک‌دیگر مرتبط‌اند و هرگونه تغییری در یک جزء الزاماً بر سایر اجزای کاغذ اثر می‌گذارد. تاهای ریزه‌کاری معمولاً بر بخش کوچکی از کاغذ اِعمال می‌شوند و مثلاً لبه‌ای را به یک پا یا بال یا سر تبدیل می‌کنند. برای آن که مبنا به‌ شکل مورد نظر درآورده شود، تفکر مقطعی (تاکتیکی) لازم است؛ طراحی مبنایی که کار باید با آن آغاز شود نیازمند دورنگری (استراتژی) است.
در سال‌های میانی دهه‌ی 1960 میلادی، اُریگامی در سراسر جهان مورد توجه قرار گرفته بود و عمدتاً چهار نوع مبنا به کار گرفته می‌شد (شکل زیر).

این مبناها را به نام‌های مبنای بادبادک، مبنای ماهی، مبنای پرنده، و مبنای قورباغه می‌شناسند. (علاوه بر این‌ها، دو شکل دیگر هم هست که عموماً مبنا خوانده می‌شود – تای ابتدایی و مبنای اژدر – که حالت‌های کامل نشده‌ی دو مبنای پرنده و قورباغه هستند.) اگرچه این چهار مبنا بیش از صد سال قبل از آن که اریگامی در غرب رواج یابد در ژاپن شناخته شده بودند، بخش اعظم صدها طرح جدید که تا آن زمان ساخته شده بود بر اساس همین چهار شکل بود و این امر حاکی از انعطاف‌پذیری مبناهای سنتی چهارگانه است.
با این حال، مبناهای سنتی اشکالات خاصی هم دارند. زبانه‌های اصلی مبنا، به اجزای اصلی نمونه‌ی نهایی تبدیل می‌شوند. اگر موضوع مورد نظر چهار پا و یک سر و یک دم داشته باشد، برای ساختن آن، مبنایی با شش زبانه‌ی اصلی لازم است. مبناهای بادبادک، ماهی، پرنده، و قورباغه، به ترتیب، یک، دو، چهار، و پنج زبانه‌ی بزرگ، و یک، دو، یک، و چهار زبانه‌ی کوچک‌تر دارند. ماهی ساده، دو زبانه‌ی بزرگ (سر و دم)، و دو زبانه‌ی کوچک (باله‌های سینه) دارد و به همین علت مبنای ماهی برای آن مناسب است و علت نام‌گذاری این مبنا هم همین است. مهره‌دارانی که در خشکی زندگی می‌کنند عموماً پنج زبانه‌ی اصلی دارند (چهار پا و یک سر) که طبعاً بیش از هرچیز با مبنای قورباغه وفق می‌دهد که البته در این جا وجود دم نادیده گرفته شده است. اما زبانه‌ای که در مبنای قورباغه در موقعیت تبدیل شدن به سر قرار گرفته است قطور است و دست‌کاری کردنش راحت نیست. این کار را با یکی از چهار زبانه‌ی مبنای پرنده، آسان‌تر می‌توان انجام داد. ولی اگر از مبنای پرنده برای ساختن یک جانور چهارپای کاغذی استفاده کنیم ناچار خواهیم شد دوتا از پاها (معمولاً پاهای عقبی) را با یک زبانه بسازیم. در سال‌های دهه‌های 1950 و 1960 میلادی انواع و اقسام جانورهای سه پای اُریگامی این جا و آن جا می‌لولیدند.
نخستین شیوه‌ی طراحی منظم و حساب شده، در دهه‌ی 1960 میلادی با ابداع روش تا زدنی به نام «تازنی قوطی‌وار» پدیدار شد. علت این نام‌گذاری آن است که در این روش، کار با تازدن کاغذ شروع می‌شود و مرحله‌های میانی به یک رشته قوطی شباهت دارند. تازنی قوطی‌وار منجر به ایجاد برخی از عجیب‌ترین شکل‌هایی شده که تاکنون در اُریگامی عرضه شده‌اند. یکی از نخستین نمونه‌های آن‌ها، به نام «لحظه‌ی حقیقت لوپیو» اثر نیل الیاس است که در آن گاو و گاوباز و شنل، همگی از تازدن یک برگ کاغذ ساخته شده‌اند. یکی از پیچیده‌ترین نمونه‌های حاصل از تازنی قوطی‌وار «سیاه کوکوی جنگل سیاه» است. در این طرح، دویست متر تا در نمونه‌ای به ارتفاع صد و چهل سانتیمتر وجود دارد و ساختن آن چهار تا شش ساعت وقت می‌گیرد. در هر دوی این طرح‌ها، مثل اغلب طرح‌های دیگر تازنی قوطی‌وار، به جای مربع سنتی از مستطیل‌هایی با نسبت ابعاد به ترتیب سه به یک و ده به یک استفاده شده است.

شیوه‌ی تازنی قوطی‌وار، طرح‌های پیچیده را بر مستطیل مبتنی کرد، در حالی که روی مربع یعنی شکل اولیه‌ی سنتی – چندان کار نشد و تنها تعداد انگشت شماری طرح پیچیده بر اساس آن ساخته شد. این وضع در دهه‌ی 1970 تغییر کرد. در این سال‌ها سه امریکایی و یک ژاپنی که مستقل از یک‌دیگر کار می‌کردند موفق به یافتن مجموعه‌ای از روش‌ها و تقارن‌ها شدند که در ایجاد نمونه‌های پیچیده بر اساس مربع به کار می‌رفت. این چهار تن عبارت بودند از جان مونترول، مهندس و مدرس ریاضیات، پیتر انگل، نویسنده‌ی مقالات علمی و معمار (مؤلف مقاله‌ی اُریگامی، هنر ویژه‌ی ریاضی‌دانان)، جون مائه گاوا، دانشمند فیزیک هسته‌ای، و رابرت لانگ، دانشمند فیزیک لیزر. روش‌های ابداعی ایشان به نام تازنی فنی خوانده شده است چراکه درواقع نوعی از اُریگامی است که درآن به میزان مساوی هنر و مهندسی به کار رفته ست. اصول اساسی کار، بسیار ساده بود. در چهار مبنای سنتی، نقش یک‌سانی در مضرب‌های دو، چهار، هشت، و شانزده ظاهر می‌شود. در اُریگامی تخصصی از گسترش همین الگو استفاده می‌شود.
این نقش تکرار شونده، مثلث قائم الزاویه‌ی متساوی الساقینی است که دو تاخوردگی روی آن وجود دارد. این نقش در هر یک از مبناها با ابعاد پی‌درپی کوچک‌تری ظاهر می‌شود. از کنار هم گذاشتن دو تا از از این مثلث‌های اساسی ، یک مربع به وجود می‌آید که مبنای بادبادک را پدید می‌آورد. از چهار تای آن‌ها مبنای ماهی درست می‌شود. از هشت تا، مبنای پرنده به وجود می‌آید، و بالاخره با کنار هم چیدن شانزده تا می‌توان مبنای قورباغه درست کرد. این الگو کاملاً ساده و روشن است. برای رسیدن به سی و دو مثلث کافی بود چهار گوشه‌ی مربع را به مرکز تا کنیم و روی شکل حاصل، یک مبنای قورباغه بسازیم. در این حالت، نتیجه‌ی کار چیزی است که «مبنای قورباغه با تای درون‌بر» خوانده می‌شود و در چند طرح پیچیده به کار گرفته شده است.
نقش تاخوردگی‌های کاغذ، در حکم نقشه‌ی راهنمایی است که نشان می‌دهد برای ساختن یک مبنا، کاغذ را چطور باید روی خودش تا کرد. در مورد مبناهای حاصل از تازنی قوطی‌وار، مبنا را می‌توان از مربع دارای تاخوردگی و با تازدنِ یک در میان در هر جهت، به وجود آورد. هریک از مبدأهای تاخوردگی‌های شعاعی روی مربع، بعداً به زبانه‌ای از مبنا تبدیل می‌شود. بنابراین برای داشتن اجزای فرعی بیش‌تر، باید خوشه‌های شعاعی بیش‌تری از تاخوردگی‌ها ایجاد کرد. مبنای پرنده با تای درون‌بر، نُه زبانه‌ی اصلی دارد که خیلی بیش‌تر از تعدادی است که قبلاً مقدور بود. نقش تاخوردگی‌ها برای طرح «خارپشت دریایی»، که از صد و بیست و هشت مثلث اساسی همانند تشکیل می‌شود، شامل بیست و پنج زبانه با طول مساوی است. البته درواقع این مثلث، اساسی‌ترین واحد نیست و به نوبه‌ی خود از سه مثلث کوچک‌تر تشکیل شده است: دو مثلث قائم الزاویه‌ی مختلف الاضلاعِ همانند (که نسبت اضلاع مجاور به قائمه‌اشان یک به روی یک به اضافه‌ی رادیکال دو است) و یک مثلث قائم الزاویه‌ی متساوی الساقین (با نسبت یک به یک برای اضلاع مجاورِ قائمه) که متشابه با مثلث اولیه ولی کوچک‌تر از آن است. این دو نوع مثلث را به ترتیب، مثلث‌های نوع الف و ب می‌نامیم. این دو مثلث مکرراً در اندازه‌های مختلف در سراسر نقش‌های تاخوردگی ظاهر می‌شوند. این مثلث‌ها سنگ‌بنای واقعی اُریگامی تخصصی هستند.
این دو مثلث دارای برخی خواص جالب توجه هستند. هر یک از آن‌ها را می‌توان به دو یا چهار مثلث نظیر مثلث اولیه تجزیه کرد. به علاوه، هر مثلث را می‌توان به دو مثلث نوع الف و یک مثلث نوع ب تجزیه کرد. اگر این تقسیم‌بندی‌ها را به شیوه‌ی مناسبی روی نقش‌های ساده‌ی تاخوردگی اعمال کنیم زبانه‌های بیش‌تر و بیش‌تری حاصل می‌شود.

به جای تجزیه کردن مربع به مثلث‌های کوچک‌تر و کوچک‌تر، می‌توانیم مثلث‌های نوع الف و ب را طوری کنار هم بچینیم که نقش‌های هندسی بزرگ‌تر و بزرگ‌تری به دست آید. مثلاً با کنار هم چیدن دو مثلث نوع الف و دو مثلث نوع ب می‌توان مستطیلی با نسبت اضلاع یک به رادیکال دو ساخت. با کنار هم چیدن چهار تا از این مستطیل‌ها می‌توان مستطیل دیگری با نسبت اضلاع یک به رادیکال دو ساخت که دو محور تقارن داشته باشد. از این راه می‌توانیم سنگ‌بناهای بزرگ‌تری برای ساختن مبناها به وجود آوریم. از ترکیب مجموعه‌های بزرگ‌تری از واحدهای اساسی می‌توانیم مبناهای پیچیده‌تری ایجاد کنیم که به نوبه‌ی خود منجر به ساختن شکل‌های کاغذی پیچیده‌تری خواهد شد. با یافتن ترکیب‌های مختلف این مثلث‌ها، می‌توانیم «کتاب‌خانه‌ها»یی از نقش‌های تاخوردگی با درجات بالاتر فراهم کنیم، که مثلاً این کار را می‌توان برای مستطیل با نسبت اضلاع یک به رادیکال دو انجام داد. به این ترتیب، مسأله‌ی طراحی مبنای اُریگامی تبدیل می‌شود به مسأله‌ی «کاشی‌کاری» یک مربع با مثلث‌های نوع الف و ب (یا ترکیب‌های درجات بالاتر آن‌ها) به طوری که برای هر یک از اجزای نمونه‌ی کاغذی مطلوب، یک نقش تاخوردگی شعاعی داشته باشیم.

هر زبانه، یا به زبان دیگر، هر خوشه‌ی شعاعی، آن بخش از کاغذ مربع شکل را اشغال می‌کند که مقدارش به طول زبانه بستگی دارد. پس، مثلاً با داشتن یک نقش تازنی دارای هشت خوشه‌ی شعاعی، هنوز معلوم نیست که حتماً بتوانیم عنکبوت یا مبنای آن را بسازیم. زبانه‌هایی از مبنا که به منزله‌ی هشت پای عنکبوت هستند باید دارای طولی کم‌وبیش مساوی باشند و به جاهای مناسبی از تنه وصل باشند (مثلاً حالتی که در آن شش زبانه به تنه و دو زبانه به سر وصل باشند به درد نمی‌خورد). قوانین دیگری وجود دارد که برای متساوی بودن طول زبانه‌ها و قرار گرفتن آن‌ها در جای مناسب به کار می‌آیند.
بعضی از این قانون‌ها بدیهی هستند، مثلاً این که خوشه‌ای که به سر تبدیل می‌شود و خوشه‌ای که تبدیل به دم خواهد شد، باید در دو کناره‌ی مقابل از کاغذ واقع باشند، پاهای جلو باید به سر نزدیک‌تر باشند تا به دم، و الی آخر. به طور کلی، زبانه‌هایی که در مبنا به هم نزدیک‌اند، روی مربع هم باید به یک‌دیگر نزدیک باشند. محدودیت‌های مربوط به طول، به این روشنی نیست ولی در نظر گرفتن آن‌ها آسان است. موضعی از مربع که در مبنا به صورت نوک زبانه‌ای به طول دو سانتیمتر درمی‌آید، ناحیه‌ای به شعاع دو سانتیمتر دورادور خود را روی کاغذ مربع شکل اشغال می‌کند. به این ترتیب، دو خوشه‌ی تازنی که قرار است زبانه‌هایی به طول دو سانتیمتر ایجاد کنند نمی‌توانند فاصله‌ای کم‌تر از چهار سانتیمتر (که مجموع طول دو زبانه‌ی مذکور است) با هم داشته باشند. این خاصیت را به طور خلاصه چنین می‌توان بیان کرد که فاصله‌ی دو زبانه روی مربع نمی‌تواند کم‌تر از کوتاه‌ترین مسیر بین نوک آن‌ها در مبنا باشد.
بنابراین، در طراحی مبنا، باید ترکیب‌هایی از مثلث‌های نوع الف و نوع ب را طوری روی مربع بچینیم که به ازای هر جزء از شکل مورد نظر، یک خوشه‌ی تازنی شعاعی داشته باشیم، و محل و فاصله‌ی نسبی این خوشه‌های تازنی با محل و طول اجزای شکل مورد نظر هم‌خوانی داشته باشد. گرچه برای هر شکل نهایی خاص فقط یک نوع مبنا در نظر گرفته می‌شود، از هر مبنای خاص برای ساختن شکل‌های متعدد و گوناگون می‌توان استفاده کرد. برای ساختن شکلی که شش عضو اصلی داشته باشد دو مستطیلِ یک به روی رادیکال دو را می‌توان با دو مبنای پرنده ترکیب کرد تا نقش تازنی شکل زیر به دست آید که بر اساس آن می‌توان تمساح، کوسه، کانگورو، یا موش درست کرد.


با پیش‌رفت‌هایی که در فن طراحی اُریگامی حاصل شده، قلمرو کار آن نیز گسترش یافته و به موارد ظریف‌تری کشانده شده است. همان‌طور که در علم هم اغلب پیش می‌آید، می‌بینیم که فنون به دست آمده، ما را به جستجوی مسائلی برای حل کردن وامی‌دارد. توانایی به دست آمده در ساختن موجوداتی با زبانه‌های متعدد سبب می‌شود که موضوع‌هایی با تعداد اندام‌های فرعی زیاد را برای ساختن با کاغذ انتخاب کنیم. مثلاً ساختن حشرات که زمانی کاملاً ناممکن تلقی می‌شد امروزه در اُریگامی امری پیش پا افتاده است. حالا دیگر برای آن که نمونه‌ی ساخته شده‌ای از جانور مفصل‌دار، واقعی جلوه کند، داشتنِ پا کافی نیست و مثلاً باید آرواره هم داشته باشد. زمانی تصور می‌شد که آخرین حد بلندپروازی طراح اُریگامی، ساختن یک خرچنگ دریایی یا هشت پای دراز و نازک، دو چنگک دوشاخه، شاخک‌ها و دم بندبند آن باشد. در سال 1970، خرچنگ دریایی محصول اُریگامی وجود نداشت. دو دهه بعد می‌توانستید نوع دل‌خواه خود را انتخاب کنید.
به کارگیری شیوه‌های مهندسی در اُریگامی، به این هنر در عصر حاضر اعتبار تازه‌ای بخشید. شاید این سؤال مطرح شود که اُریگامی در قلمرو علم چه حرفی برای گفتن دارد. اریگامی همیشه در ریاضیات تفننی مورد توجه بوده است و در سال 1960 سهم عمده‌ای در ستون بازی‌های ریاضی مجله‌ی ساینتیفیک امریکن که مارتین گاردنر تهیه کننده‌ی آن بود به خود اختصاص داد. اُریگامی نخستین بار در سال 1969 پای به قلمرو مهندسی گذاشت. در این سال دانشمندی به نام جن مایر از آزمایش‌گاه‌های پژوهشی هیوز مقاله‌ای منتشر کرد که طی آن نشان داد که از اُریگامی می‌توان در مشابه‌سازی دستگاه‌های نوری استفاده کرد. چندین سال بعد، آلن هوانگ، پژوهش‌گری از آزمایش‌گاه‌های شرکت مخابراتی بل (امریکا) روشی به نام اُریگامی محاسباتی ابداع کرد که در طراحی کامپیوترهای نوری به کار گرفته می‌شود. پرداختن به بهره‌گیری در جهت عکس نیز جای تأمل دارد. آیا می‌توان از کامپیوتر برای طراحی شکل‌های اُریگامی استفاده کرد؟ چنین انتظاری چندان بی‌جا نیست. اغلب روش‌های طراحی به دست آمده را می‌توان به صورت الگوریتم درآورد، مثلاً برای داشتن N پا، این M مرحله را دنبال کنید. سیستم‌های خبره‌ی کامپیوتری تاکنون در تشخیص بیماری‌ها و مکان‌یابی حوزه‌های نفتی، کارآمد بوده‌اند، پس بدون تردید، طراحی یک پرنده‌ی کاغذی بال‌دار کار پیچیده‌تری نیست. درواقع این کار هم‌اکنون صورت گرفته است در سال 1971، آرتور آپل، پژوهش‌گری از مؤسسه‌ آی بی ام، برنامه‌ای برای یکی از کامپیوترهای سیستم 360 تهیه کرد که شکل‌های هندسی ساده‌ی کاغذ تاشده را ترسیم کند. نوزده درصد موارد، ناموفق منظور شد (البته باید دید که شکل هندسی به چه تعبیر «موفق» به حساب می‌آید). ولی در این جا سؤال جالبی مطرح می‌شود: آیا ممکن است روزی کامپیوتر مدلی برتر از آن چه بشر طراحی می‌کند طراحی کند؟ کسانی که در اُریگامی به طور تخصصی کار می‌کنند بخش عمده‌ای از روند طراحی را به صورت الگوریتم درآورده‌اند که طبعاً به راحتی می‌توان آن‌ها را در کامپیوتر به کار گرفت. البته باید گفت که کارشناسان اُریگامی با این کار، مقدمات کنار رفتن خود از صحنه را تدارک می‌بینند.
درهرصورت گرچه کامپیوتر علی الاصول می‌تواند مبناهایی به مراتب پیچیده‌تر از آن چه از انسان برمی‌آید طرح کند (مثلاً نمونه‌ی کاغذی مجسمه‌ی دروازه‌ی جهنم، اثر رودن)، موضوع تاکردن کاغذ به نوبه‌ی خود مسأله‌ی دیگری است. کاغذ ضخامت محدودی دارد و به راحتی پاره می‌شود. در پیش‌‌رفته‌ترین نمونه‌هایی که تاکنون در اریگامی تخصصی طرح شده، از آخرین حد مقاومت کاغذ در مقابل پارگی استفاده شده است. اگر ملاحظه‌ی این محدودیت‌های کاغذ نبود بیست و پنج زبانه‌ی خارپشت دریایی را به راحتی می‌شد به سی و شش یا چهل و نه یا حتی تعداد بیش‌تری زبانه افزایش داد. کامپیوتر می‌تواند دروازه‌ی جهنم را با تمام اجزا و جزئیاتش طراحی کند ولی این مجسمه‌ی کاغذی مجال جلوه‌گری نخواهد یافت، زیرا در نیمه‌های راه، کاغذ جر خواهد خورد.

یک دلیل دیگر هم برای این ادعا وجود دارد که اُریگامی احتمالاً در قلمرو اختصاصی کار آدمی باقی خواهد ماند. کامپیوتر را می‌توان طوری برنامه‌ریزی کرد که در کار طراحی کارآمد باشد، زیرا کارآیی خصلتی است که می‌توان آن را در قالب کمیت بیان کرد. اما کیفیت هنری چنین نیست. شاید مهندسی، کار را آسان‌تر کرده باشد، و شاید علم، چشم‌اندازهای تازه‌ای گشوده باشد، اما اُریگامی هم‌چنان یک هنر است. در تمامی مدت طراحی یک نمونه‌ی اُریگامی تصمیم‌های هنرمندانه‌ای باید گرفته شود و کسی که به این کار مشغول است، چه متخصص باشد و چه نباشد، با تمام وجود درگیر آن خواهد بود.